Nach seinem Debüt mit Romeo und Julia am Schauspielhaus Bochum wirkte David Bösch mehrere Jahre als Hausregisseur am Grillo Theater in Essen und als leitender Regisseur am Schauspielhaus Bochum. Er arbeitete regelmäßig am Residenztheater München, dem Schauspielhaus Zürich, dem Deutschen Theater Berlin und dem Burgtheater Wien. Am Hamburger Thalia Theater inszenierte er Viel Lärm um nichts. Mit dieser Arbeit wurde er erneut zu den Salzburger Festspielen eingeladen, gewann den Young Director Award der Festspiele und wurde erstmals für den Nestroy nominiert. Auf Einladung des Goethe Instituts inszenierte er die südkoreanische Erstaufführung von Urfaust am Myeongdong Theater in Seoul. Von 2013 bis 2016 war David Bösch Hausregisseur am Burgtheater Wien. Ab 2019 war er Professor für Regie am renommierten Max-Reinhardt-Seminar Wien.

2009 startete er mit der Inszenierung von Donizettis L’elisir d’amore an der Bayerischen Staatsoper München seine Tätigkeit als Opernregisseur. Es folgten Arbeiten an führenden internationalen Opernhäusern wie das Royal Opera House in London, De Nationale Opera Amsterdam, Staatsoper Unter den Linden, Semperoper Dresden, Opéra National de Lyon und viele mehr. 2018 wurde David Bösch in der Kategorie Regie für den International Opera Award nominiert.

Zuletzt brachte er gemeinsam mit Christian Thielemann Die Frau ohne Schatten von R. Strauss an der Semperoper in Dresden auf die Bühne.

In den letzten Jahren wendet sich David Bösch künstlerisch vermehrt einem jungen Publikum zu. So entstanden im Bereich Musiktheater an der Bayerischen Staatsoper München die Graphic Opera Spring doch für Kinder ab 8 Jahren, inszeniert für die Bühne und den digitalen Raum. Für Die weiße Rose (2021) an der Staatsoper Hamburg, in Zusammenarbeit mit ARTE und ZDF, schuf er einen Graphic Opera Film für junge Menschen ab 16 Jahren und gewann damit mehrere internationale Preise. Ebenfalls für ein junges Publikum brachte er an der Staatsoper Hamburg 2023 die Monooper Anne Frank auf die analoge und die digitale Bühne.

Im Sprechtheater inszenierte David Bösch in den letzten Jahren vermehrt Erst- und Uraufführungen zeitgenössische Autor:innen. So brachte er am Berliner Ensemble Eine Frau von Tracy Letts und Der Weg zurück von Dennis Kelly zur Premiere. Am Burgtheater Wien inszenierte er die Uraufführung Adern von Lisa Wentz, die für drei Nestroys 2022 nominiert wurde. Die UA ihres neusten Stückes ist für das Theater in der Josefstadt in Planung. In den Kammerspielen am Landestheater Linz feierte im Herbst 2023 seine Inszenierung Fischer Fritz von Raphaela Bardutzky Premiere und wurde zum Heidelberger Stückemarkt 2024 eingeladen.

Auch als Theaterautor entwickelt er Stoffe für ein junges Publikum. So entstand Robin Hood mit einer weiblichen Heldin am Düsseldorfer Schauspielhaus und auch Die Stützen der Gesellschaft von H. Ibsen legten durch die Überschreibung von David Bösch am Hafen der Jetztzeit im Theater in der Josefstadt Wien an.

David Bösch ist designierter Schauspieldirektor am Landestheater Linz.