Alexander Rapp wurde in der Nähe von Linz geboren. 2015 begann er an der Musik und Kunst Privatuniversität (MuK) der Stadt Wien sein Studium „Musikalisches Unterhaltungstheater“, welches er 2019 abschloss. Während des Studiums spielte er in Grimm! Die wirklich wahre Geschichte von Rotkäppchen und ihrem Wolf das Schweinchen Didi (Renaissancetheater) und in Jesus Christ Superstar, Les Miserables und Der Graf von Monte Christo auf der Felsenbühne Staatz. Weiters zeigte er sich in Here come the Lovers, einer Shakespeare-Collage von Ruth Brauer-Kvam im Theater im Zentrum (Theater der Jugend).

Auf der universitätseigenen MuK-Bühne spielte er sowohl in den Musicals Triumph der Liebe und Die Relativitätstheorie (Deutschsprachige Erstaufführung) als auch in der Operette Die Abenteuer des Königs Pausole. Im Museumsquartier stand er mit dem Musical Heidi auf der Bühne. Im Festspielsommer 2021 wird er in Sister Act auf der Felsenbühne Staatz spielen.